¿QUÉ ES EL ESPACIO-TIEMPO?

Hace unos meses hablamos sobre una parte de la Teoría de la Relatividad Especial de Einstein en esta entrada. En aquella ocasión pusimos de manifiesto que del hecho que exista una constante en el Universo que no puede ser superada, la velocidad de luz, se deduce que para observadores que se mueven a distinta velocidad, el tiempo es diferente. En dicha entrada dedujimos a partir de reglas geométricas muy sencillas la ecuación que nos permite relacionar los tiempos medidos por dos observadores que se mueven a una velocidad relativa constante:

Ecuación 1

De esta manera, por ejemplo, una persona constataría que un reloj que se mueve con velocidad constante respecto a él, marcaría el tiempo más lentamente.

En esta entrada seguiremos profundizando en la Teoría de la Relatividad Especial de Einstein, en cómo Einstein cambió nuestro concepto de espacio y tiempo hasta llegar a la ecuación más famosa de todos los tiempos: E = mc², una fascinante ecuación con unas inmensas implicaciones que pondremos de manifiesto. El recorrido hasta la obtención de la ecuación no es una tarea fácil, pues tenemos que desarrollar conceptos algo abstractos, a los que no estamos acostumbrados, pero con un poco de esfuerzo espero que al final lo consigamos. En la entrada anterior ya avanzamos un paso importante, poniendo de manifiesto la relatividad del tiempo, pero aún nos falta un paso más antes de estar en condiciones de poder deducir y comprender la famosa ecuación: tenemos que cambiar nuestra idea de espacio y tiempo como cosas independientes. Para ello tendremos que abrir un poco la mente y aparcar por un momento las ideas tan arraigadas que tenemos acerca del espacio y del tiempo. Vamos allá!

Albert Einstein basó su Teoría de la Relatividad Especial en dos sencillas hipótesis:

1.  Las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales, es decir sistemas que se mueven a velocidad constante. Dicho de otra manera, si una ley física se cumple en un lugar concreto del Universo, debe cumplirse también en otro punto diferente.

2.  La velocidad de la luz en el vacío es una constante universal, "c", que es independiente del movimiento de la fuente de luz.

A partir de estas dos hipótesis Einstein desarrolló su teoría, obteniendo resultados sorprendentes que han sido confirmados experimentalmente una y otra vez.

Antes de Einstein pensábamos que el tiempo era invariante, es decir, una propiedad que no cambia su valor si nos encontramos en lugares diferentes del Universo a velocidades diferentes y/o con orientaciones diferentes. Pensábamos que el tiempo transcurrido entre dos acontecimientos, que en adelante denominaremos “eventos”, sería el mismo si lo mide una persona que se encontrase en la Tierra o si lo mide una persona que se encontrase viajando a una cierta velocidad. Es lo que indica nuestro sentido común. Pero tras Einstein, el tiempo dejó de ser una cantidad invariante, absoluta, y además de este, también el espacio. Tiempo y espacio depende de la velocidad a la que nos desplacemos. Puede sonar algo raro, pues en nuestras experiencias cotidianas no notamos nada de esto, pero recuerda: nuestras percepciones, nuestro sentido común, no tienen por qué mostrarnos la realidad de las cosas (si es que tal cosa existe). En este caso concreto, la cuestión es que para que el efecto de cambio en el tiempo y espacio sea apreciable hay que viajar a velocidades que no son para nada comunes en nuestro día a día, velocidades muy altas, próximas a la velocidad de la luz.

Tanto tiempo como espacio son maleables, dependen de la velocidad de las cosas. Esto molesta de sobremanera a los físicos, pues siempre buscan ecuaciones que pongan de manifiesto fenómenos de la naturaleza en las que intervengan variables de tal forma que todos los observadores se pongan de acuerdo respecto a su valor: cantidades invariantes. Verdaderamente es un fastidio que esto no sea así. Imagina que quieres vender una parcela, que tras medirla, tiene una superficie de 100 Ha. Pero llega el comprador y te dice que él ha medido una superficie de 70 Ha, la mides tú y vuelves a comprobar que te sale 100 Ha. ¿Quién tiene razón? Einstein puso de manifiesto que podría ser que ambos… Debemos encontrar nuevas cantidades que sí sean invariantes, para que de esta manera sean válidas bajo todas las circunstancias de los observadores.

Si tiempo y espacio son variantes, debemos desarrollar otro marco de referencia en el que podamos obtener cantidades invariantes. En nuestra búsqueda, vamos a definir una nueva entidad del espacio y del tiempo para comprobar si podemos encontrar una cantidad que medida en ella, todos los observadores se pongan de acuerdo: vamos a combinar espacio y tiempo. Puede resultar extraño, pues el espacio es el espacio y el tiempo, el tiempo. Pero la cosa puede tener su lógica, si espacio y tiempo no son invariantes por separado, tal vez una combinación de los mismos de lugar a alguna cantidad invariante. Pude parecer una hipótesis arriesgada, aún así seguiremos adelante y si no obtenemos resultados satisfactorios que se verifiquen experimentalmente, tendremos que rechazarla. ¡La ciencia es así!

De esta manera, de tener espacio y tiempo como entidades independientes, pasamos a tener una única entidad: el “espacio-tiempo”. El tiempo entra como una dimensión más en la que suceden las cosas. De hecho, si lo piensas, la idea no es descabellada: para describir el evento de una cosa, además de indicar la posición exacta donde ocurre (indicar las tres coordenadas espaciales), debemos indicar otra coordenada más: el tiempo. Por ejemplo, para concertar una cita con alguien, además de indicarle el lugar del encuentro, debemos indicarle la hora. Pasamos de tener una entidad de tres dimensiones a una con cuatro, incluyendo el tiempo como una dimensión más. Esta dimensión adicional tiene propiedades diferentes a las del espacio, pues mientras que en éstas podemos movernos libremente en todas direcciones (arriba y abajo, izquierda y derecha y hacia delante o atrás) en la dimensión temporal únicamente nos podemos mover en sentido positivo, hacia arriba, con el paso del tiempo.

Nuestra tarea ahora será buscar la manera de medir “distancias” en esta nueva entidad, el “espacio-tiempo”, de forma que todos los observadores midan la misma cantidad, independientemente de sus circunstancias. Habremos obtenido así una cantidad invariante, una cantidad en la que todos los observadores se pondrán de acuerdo, sin importar la velocidad a la que se muevan.

Estamos acostumbrados a la representación de una distancia en un marco de referencia formado únicamente por dimensiones espaciales (sin tener en cuenta el tiempo). Por ejemplo, en la representación con dos ejes espaciales, “x” e “y” como un espacio plano, la distancia entre dos puntos la podemos calcular mediante el conocido Teorema de Pitágoras:

Figura 1

 

Ecuación 2

De esta manera, si las distancias “x” e “y” las medimos en metros, la distancia de “A” hasta “B” la obtendremos en metros.

Cuando introducimos el tiempo como una dimensión adicional a las dimensiones espaciales, la cosa se complica un poco. En nuestra combinación del espacio con el tiempo, representaremos los diferentes eventos en dos ejes, un eje vertical temporal y otro eje horizontal espacial. En realidad, para que quedase totalmente definido, deberíamos de utilizar los tres ejes de coordenadas espaciales, pero asumiremos que el movimiento sólo se produce a través de una dimensión espacial para simplificar el asunto. De ahí a pasar a la situación real que incluya las restantes dimensiones espaciales, únicamente deberíamos añadirlas.

Figura 2

De esta manera, un evento quedará totalmente establecido como un punto en el diagrama, al que le corresponderán unos valores en el eje del espacio (dónde ha sucedido) y un valor en el eje del tiempo (cuándo ha sucedido). Pero para combinar ambas dimensiones, espacio y tiempo, y poder realizar operaciones consistentes en ellas, ambas tienen que tener las mismas unidades. 

En la Fig. 1, la distancia “s” tiene unidades consistentes porque los dos ejes tienen las mismas unidades, por ejemplo, metros. Pero en nuestra nueva representación, al combinar tiempo y espacio, las unidades son diferentes (segundos y metros, por ejemplo). En principio podríamos pensar que espacio y tiempo no tienen nada en común, pero si introducimos la magnitud velocidad, espacio y tiempo quedan relacionados entre sí. Si llamamos “c” a la velocidad, “x” al espacio y “t” al tiempo:

Ecuación 3. La velocidad es igual al espacio dividido entre el tiempo. Por tanto, el espacio es igual a la velocidad multiplicada por el tiempo, y el tiempo es igual al espacio dividido entre la velocidad.

Una aclaración importante es que hemos llamado “c” a la velocidad, aunque en principio esta velocidad no tiene por qué tener relación con la velocidad de la luz. De hecho aún no conocemos cuál puede ser el valor de "c".

Podemos representar el tiempo de una manera diferente a la que estamos acostumbrados, mediante el producto “c x t” consiguiendo así que tenga dimensiones espaciales (Si multiplicamos velocidad por tiempo obtenemos unidades de espacio, por ejemplo, en metros. Ver Ecuación 3). Esta manera de representar el tiempo puede resultar algo confusa, pero es perfectamente posible. Para que quede más claro, imagina que viajas en coche a una velocidad “c” de 100 km/h. En una hora recorrerás, por tanto, un espacio de de 100 km. Pues bien, podrías decir lo siguiente: “He recorrido una distancia temporal de 1 hora, que a 100 km/h corresponde con 100 km”. 

Si representamos dos eventos, A y B en el espacio-tiempo obtenemos lo que en física se denomina “diagramas en el espacio-tiempo”:

Figura 3. Diagrama espacio-temporal en la que se representan dos eventos: A y B.

Hemos visto que espacio y tiempo dependen de la velocidad del observador. Los valores del espacio “x” y el tiempo “t” (y por tanto “ct” que es la magnitud representada) del evento “B” medidos por un observador en reposo, serán diferentes a los medidos por un observados a cierta velocidad, tanto más diferentes cuanto mayor sea la velocidad de éste último. Es decir, el evento "B" estará situado en otro lugar del diagrama si le preguntamos a un observador que se mueve a cierta velocidad respecto al primero. Como dijimos antes, espacio y tiempo por separado no son cantidades invariantes. Ahora bien, a nuestra nueva construcción de espacio-tiempo, le imponemos como requisito que el valor de "s" sea el mismo para todos los observadores. Es decir, debemos encontrar una expresión en la que combinando “x” y “ct” siempre obtengamos el mismo valor de "s".

Aunque no lo deduzcamos aquí, la única expresión que nos da el valor de “s” imponiendo las hipótesis de las que partió Einstein es la siguiente:

Ecuación 4.

Recuerda esta ecuación, pues es la ecuación fundamental para continuar con el desarrollo. Ésta es la única forma de medir “s” de tal manera que diferentes observadores que se mueven entre sí a una velocidad constante obtengan el mismo valor. Si representamos "ct" frente a "x" para un valor constante de "s" (Repetimos: "s" debe tener el mismo valor para todos los observadores que miden el tiempo y espacio de un evento), obtenemos la siguiente curva:

Figura 4. La línea azul representa la posición en el diagrama espacio-tiempo de los puntos que representan un mismo evento medido por diferentes observadores que se mueven entre sí a velocidades constantes.

La línea azul representa todos los puntos que cumplen la ecuación, para un valor concreto de "s". De esta manera un mismo evento visto por dos observadores diferentes que se mueven a velocidad constante pueden representarse como A y A’.

Así, si preguntamos a un observador nos dirá que el suceso A ha transcurrido durante un intervalo de tiempo - t - y se ha desplazado un espacio - x -. Y si preguntamos a un observador que se mueve a una velocidad constante - v - respecto al primero, nos dirá que el mismo suceso, pero bajo su observación, A’, ha transcurrido durante un intervalo de tiempo - t’ - y ha recorrido una distancia - x’- , que no coinciden con - t - y - x -. Sin embargo si ambos observadores calculan el valor de “s” obtendrán el mismo valor. Pero para que los diferentes observadores puedan poder realizar este cálculo, antes debemos conocer el valor de la velocidad “c”.

Piensa en el siguiente experimento mental:

Un observador se encuentra dentro de un tren en marcha. Otro observador se encuentra en las vías del tren, y ve pasar al tren enfrente suyo a una velocidad “v”. Justo en el instante en que los dos observadores se cruzan, ponen en marcha sus cronómetros. 

Si representamos los tiempos y los espacios recorridos por la persona que se encuentra dentro del tren desde el punto de vista de los dos observadores en un diagrama espacio-tiempo obtendríamos lo siguiente:

Figura 5

Los espacios y tiempos medidos por los dos observadores serán diferentes:

-         Para el observador que se encuentra dentro del tren, ha transcurrido un tiempo t_A y ha recorrido un espacio x_A = 0, ya que se encuentra inmóvil en el vagón y por tanto no se ha desplazado respecto a sí mismo. Según la ecuación 4, para este observador:

Ecuación 5

 -        Para el observador que se encuentra en las vías del tren, el tiempo transcurrido ha sido t_A’ y el espacio recorrido x_A’. Por otro lado, como el tren se mueve a una velocidad “v”, este espacio será:

Ecuación 6

De esta manera, teniendo en cuenta la ecuación 4, para este observador “s” cumplirá:

Ecuación 7

Como ambos observadores miden el mismo valor de “s”, podemos igualar las ecuaciones 5 y 7:

Ecuación 8

Jugando un poco con la ecuación:

Ecuación 9. Esta ecuación es exactamente la misma que la Ecuación 1.

                                          

                                       

¡Hemos obtenido la ecuación de la dilatación en el tiempo! A partir de la combinación del espacio y del tiempo como una única entidad hemos obtenido la misma ecuación que en la entrada anterior (Ec. 1). La velocidad "c" utilizada en los diagramas espacio-tiempo revela su significado. No nos queda más remedio que aceptar que la velocidad “c” utilizada en los diagramas espacio-tiempo es la velocidad de la luz, la constante universal que no puede ser superada.

Profundicemos un poco más en este aspecto. Fíjate en el siguiente diagrama: 

Figura 6

   

Como hemos dicho, la curva azul del diagrama representa los puntos de un mismo evento que pueden situar en el diagrama diferentes observadores. Estos puntos cumplen la ecuación s² = (ct)² - x² (recuerda que diferentes observadores podrán medir diferentes intervalos de tiempo e intervalos de espacio, pero deberán darnos el mismo valor de “s”). Pues bien, esta curva tiende a las rectas en las que “ct” es igual a “x” (representando los puntos en los que ct = x obtenemos las líneas discontinuas de la Figura 6). Es decir, la curva se aproxima a las rectas conforme vamos aumentando el valor de “ct” y por tanto “x”. Podríamos preguntarnos lo siguiente: ¿Qué implicaría que nuestra curva atravesara la recta discontinua?

Volvamos al ejemplo del tren. Vamos a ver que pasa si nuestros protagonistas situasen el mismo evento en los siguientes puntos del diagrama:

Figura 7

En la Figura 7 se observa que la curva que une los puntos correspondientes al mismo evento atraviesa la recta discontinua. Para el observador que se encuentra en el interior del tren la situación sigue siendo la misma que antes, pero pensemos lo que ocurre con el observador que se encuentra en las vías del tren.

Este observador nos dirá que el tren ha recorrido un espacio “x_A’” en un tiempo “t_A’”. De esta manera, la velocidad del tren que mide será:

v = x_A’/ t_A’

Por otro, según la recta ct = x tenemos:

c = x _A’/t

Como el punto A’ está situado debajo de la recta discontinua:

t > t _A’

 

Si t > t _A’ ,comparando ambas ecuaciones se deduce:

v > c

¡La velocidad del tren es mayor que la velocidad de la luz! Y esto no es posible: nada puede viajar a una velocidad mayor que la luz. Queda claro que la curva que une los puntos correspondientes a un mismo evento, visto por diferentes observadores, nunca puede cruzar la recta  c = xt.

Este es un aspecto muy importante, pues además pone de manifiesto otra característica fundamental del espacio-tiempo. Fíjate en el siguiente diagrama:

Figura 8

La parte del diagrama que queda entre las rectas se conoce en física como el “cono de luz”. Así, todos los eventos de los acontecimientos que te han sucedido en la vida, que te suceden, o que te sucederán estarían dentro del cono de luz representado en la figura. Eventos situados fuera del “cono de luz” no pueden tener ningún efecto sobre ti, ya que para que tuvieran algún efecto se debería superar la velocidad de la luz. El “cono de luz” delimita los eventos que pueden tener algún efecto sobre otros. De esta manera, si unimos la infinidad de puntos correspondientes a todos los eventos de tu vida, medidos por ti, obtendríamos lo que se conoce como “línea de universo”.

Figura 9. Videojuego "Out Run", de SEGA

Para finalizar, realizaremos unas pocas reflexiones generales más sobre el espacio-tiempo. Podríamos asemejar el “espacio-tiempo” como el circuito del clásico juego de carreras “Out Run”, con algunas particularidades. Como en el juego, en tu viaje por el “espacio-tiempo” no puedes dar media vuelta y dirigirte hacia atrás. Si te mueves directamente hacia delante estarías moviéndote en el “espacio-tiempo” sólo en la dirección temporal, con el coche parado. El circuito no tiene curvas de más de 45º, ya que entonces viajarías a una velocidad mayor que la de la luz. Y cuando se coge una curva, te estarás moviendo en el “espacio-tiempo” en ambas direcciones: temporal y espacial. Además, el juego tiene otra particularidad: desde tu punto de vista siempre te mueves por el mismo a una velocidad fija: la velocidad de la luz. La velocidad a la que te mueves a través del “espacio-tiempo” es la velocidad máxima permitida, la velocidad de la luz. De hecho, todo lo que existe en el Universo se mueven en el “espacio-tiempo” a esa velocidad. Aclararemos este aspecto un poco más.

No debes pensar en esta velocidad como el concepto de velocidad espacial cotidiano al que estamos acostumbrados.  La velocidad en el espacio es sólo una parte de la velocidad en el “espacio-tiempo”. Así, si escoges como sistema de referencia a ti mismo, tu velocidad en el espacio siempre es nula, es decir, desde tu sistema de referencia estás parado (cosa obvia, pues no puedes moverte respecto a ti mismo), “x” será 0, y por tanto, según la Ecuación 4: s = ct.  La distancia espacio-temporal (s) será la máxima posible, ya que no hay que restar “x” (recuerda que s² = (ct)² – x²). En este caso toda tu velocidad se emplea en el movimiento a través del eje del tiempo. Si observas objetos que se desplazan por el espacio respecto a ti, parte de la velocidad del espacio-tiempo, que es fija, la emplearán en moverse por el espacio. Dicho de otra manera: estos objetos dejan una cantidad menor para desplazarte a través del tiempo. La relatividad aparece en todo su esplendor, repetimos: todo se mueve en el espacio-tiempo a la misma velocidad “c”. Cuando observas un objeto en movimiento respecto a ti, parte de la velocidad espacio-temporal del mismo es invertida para su desplazamiento a través del espacio, por lo que ya no puede moverse tan rápido a través del eje del tiempo: el tiempo se ralentiza, tanto más cuanto más rápido se mueva en el eje espacial (y por tanto menos en el temporal) hasta un límite de velocidad espacial, la velocidad de la luz. Parece que la luz es una pieza clave fundamental para el entendimiento del Universo.

En esta entrada hemos aprendido a medir una cantidad invariante en los diagramas "espacio-tiempo": la distancia espacio-temporal, "s". ¿Habrá otras cantidades que sean invariantes en el espacio-tiempo? La respuesta es que sí, como veremos en la próxima entrada, en la que deduciremos por fin la famosa ecuación E = mc² y en donde “c” revelará aún más su verdadero significado.

  

Partiendo una idea muy sencilla: “La velocidad de la luz siempre tiene el mismo valor”, Einstein cambió el concepto de espacio y tiempo como entidades independientes para pasar a un nuevo concepto en el que espacio y tiempo son caras de una misma moneda: el espacio-tiempo. A partir de ahí dedujo increíbles consecuencias como la dilatación temporal o su ecuación más famosa.

Una vez más se pone de manifiesto como nuestra escala nos condiciona respecto a lo que percibimos como "la realidad". Pero ésta, si es que tal cosa existe, es mucho más fascinante e inmensa de lo que percibimos.

Referencias: ¿Por qué E = mc²? Brian Cox y Jeff Forsaw. ISBN: 978-84-9992-296-6

 “Esta entrada participa en la edición LX (marzo-abril de 2015) del Carnaval de la Física cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews.”