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Ecuación
11
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Y teniendo en cuenta la
expresión de gamma (ecuación 2):
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Ecuación
12. Gamma cuantifica cuanto se ralentiza el tiempo para alguien que observa a un reloj en movimiento. Tal como explicamos en el primer post, si la velocidad “v” es pequeña, la expresión será igual a la unidad, lo que significa que no habrá apenas retraso en el reloj, tal como ocurre en la mayoría de las experiencias cotidianas.
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El equivalente a Δt de la ecuación 6 en nuestro
espacio-tiempo podemos expresarlo como sigue:
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Ecuación
13
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Es decir, el equivalente al intervalo de tiempo en nuestro espacio-tiempo es igual a:
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Ecuación
14
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Con estas herramientas ya
estamos en disposición de poder definir completamente el vector momento en nuestro espacio-tiempo, obteniendo las expresiones de las componentes en el eje
espacial y temporal.
Para la obtención de las
componentes del vector momento en las direcciones espacial y temporal
procederemos de la misma manera que con el vector momento lineal en el espacio
tridimensional. Recuerda: el valor del vector momento lineal (la longitud de la flecha), se
obtiene multiplicando la masa del objeto por su desplazamiento y dividiéndola
por el intervalo de tiempo. De esta
manera, si partimos de la representación del desplazamiento “s” en nuestro
diagrama espacio-temporal, tal como vimos en la entrada anterior:
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Figura
6
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El
vector momento lineal tendrá la misma dirección que “s”, un tamaño de “mc” y para el
cálculo de las componentes en el eje espacial y temporal bastará con
multiplicar las distancias en los ejes (“x”
y “ct”) por la masa y dividir por el
equivalente a Dt en nuestro espacio-tiempo, que como
hemos visto es igual a Δs/c = Δt/gamma. De esta manera las componentes del
vector momento quedan como sigue:
- - Componente
del vector momento en el eje espacial:
Ecuación
15
- - Componente
del vector momento en el eje temporal:
Ecuación
16
De esta manera la
representación del vector momento en nuestro espacio-tiempo sería:
Figura
7
La componente en eje
espacial es igual a gammaxmv.
Si te fijas, ésta es una expresión
mejorada de la correspondiente en el espacio tridimensional (mv) que incluye al factor de Lorentz (gamma) como corrección. Así, para
velocidades pequeñas gamma tiene un valor de 1 y la expresión
queda como “mv”. El resultado es muy interesante, pues para velocidades pequeñas
obtenemos la expresión correspondiente al momento lineal en física clásica,
pero aún más interesante es lo obtenido en el eje temporal.
Estamos
ya muy cerca de la obtención de E = mc2. Para esto, nos centraremos
ahora en la componente del vector en el eje temporal: “gammaxmc”.
Recuerda que el momento
lineal es interesante para nosotros porque se conserva. Esto quiere decir que
si un conjunto de partículas se mueven a cierta velocidad y colisionan, los
momentos de cada partícula serán en general diferentes a los de antes de la colisión,
pero la suma total de todos ellos será la misma que la de antes de la colisión.
Si el momento se conserva, se deben
conservar también las componentes del momento en los dos ejes (espacial y
temporal). Así, aplicando la ley de
la conservación para el momento en la dirección espacial obtenemos la antigua
ley de conservación del momento en física clásica, pero mejorada con el Factor de Lorentz (gamma) , que depende de la
velocidad.
Y para
el eje temporal hemos obtenido otra ley de conservación: la conservación de “gammaxmc”.
Sigamos el siguiente razonamiento, ya queda poco:
Si gammaxmc se conserva también
debe hacerlo gammaxmc2 pues lo único que
hacemos es multiplicar por una constante, “c”.
¿Y
qué representa gammaxmc2?
Para
velocidades pequeñas gamma puede sustituirse por la siguiente
expresión:
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| Ecuación
17 |
Esta aproximación es
especialmente eficaz para velocidades “pequeñas”. Tanto más precisa cuanto
menor sea la velocidad. Por ejemplo, a una velocidad de una décima parte de la
velocidad de la luz, el valor de gamma utilizando las dos
expresiones da como resultado 1’00504 y 1’00500 respectivamente, unos valores
muy parecidos. Estamos hablando de una décima parte de la velocidad de la luz,
es decir, una velocidad de 30.000 km/s, unos 100 millones de km/h. Realmente es
una velocidad altísima desde nuestro punto de vista. Y a menor velocidad, la precisión es aún mayor.
Si sustituimos la
aproximación de la ecuación 17 en la expresión gammaxmc2:
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| Ecuación
18 |
Puede que todavía no seas consciente, pero si me has seguido hasta aquí, ya tienes ante tus ojos el significado de la famosa ecuación.
Presta atención:
Para velocidades pequeñas
respecto a la luz la expresión indicada en la ecuación 18 se conserva. Como hemos visto en la
ecuación 5, 1/2mv2 es la
expresión de la energía cinética, que mide la cantidad de energía que tiene
un objeto debido a su velocidad. Así
pues hemos encontrado una nueva expresión de conservación que consta de una
primera parte mc2 y una segunda parte que corresponde con una
energía, por lo que parece razonable identificar esta expresión con la energía,
sólo que ahora la energía consta de dos partes, una debida a la velocidad del objeto y la otra debido a únicamente a su masa. En resumen, gammaxmc2, es la
expresión de conservación de la energía en el espacio-tiempo.
¿Y cuál es la energía de un objeto que
se encuentra en reposo? Si la velocidad, “v”, es nula, como hemos visto gamma tiene un valor de uno, por lo que la expresión de la energía para un objeto en
reposo es:
Aquí está. Hemos deducido la ecuación. Lo que la ecuación nos indica exactamente es que la energía de un objeto en reposo es igual al producto de su masa por la velocidad de la luz al cuadrado.
Hemos visto que la representación del momento lineal en el espacio-tiempo nos conduce, no sólo a una nueva versión mejorada de la conservación del momento lineal sino a una también mejorada versión de la conservación de la energía.
Observa la ecuación 18. Imagina un conjunto de partículas en movimiento. Lo que la ecuación nos indica es que al sumar la energía cinética de todas las partículas más su masa multiplicada por “c” al cuadrado, obtenemos algo que no varía. Pero no sólo indica esto, sino que además esconde otra consecuencia mucho más fascinante: no hay nada en contra de la posibilidad de que parte de la masa se transforme en energía cinética y viceversa, siempre que su suma se conserve.
Masa y energía son intercambiables
entre sí, y la energía que teóricamente podemos extraer de una masa “m” en
reposo viene dada por la ecuación E = mc2.
Antes de Einstein, masa y energía parecían totalmente independientes, tras Einstein, descubrimos que masa y energía son manifestaciones de una misma cosa. Tras Einstein descubrimos que es posible transformar masa en energía, y viceversa. De hecho, este fenómeno ocurre constantemente en la naturaleza y sin él, no estaríamos aquí.
Piensa en el proceso de combustión de un trozo de carbón. Tras el mismo, si fuésemos capaces de poder pesar todos los productos obtenidos (cenizas y gases de combustión) comprobaríamos que la masa ha disminuido un poco. Una cantidad tan minúscula que nadie había reparado en ella antes de Einstein. Sin embargo, esa minúscula cantidad es precisamente la que ha dado lugar al calor desprendido en la reacción de combustión, ya que esa minúscula cantidad de masa se ha transformado en calor. El calor generado cuando quemamos un combustible proviene de la transformación de una pequeñísima parte de la masa en energía. Pongamos un ejemplo con números para entenderlo mejor:
Si quemamos
1 kg de carbón se desprenden aproximadamente 17 millones de Julios de energía en forma
de calor (la unidad de energía es el Julio). La energía desprendida proviene de
la transformación de una parte de la masa en energía. Así, podemos calcular la
cantidad de carbón que ha sido transformada en energía mediante la ecuación E =
mc2 m=E/c2= 17.000.000/(300.000.000)2 =
0,0000000002 kg (menos de una millonésima de gramo). Como puedes apreciar, una
minúscula cantidad de masa da lugar a una gran cantidad de energía.
Una manera más eficiente de aprovechar la relación entre masa y energía se da en el interior de la tierra o en las centrales nucleares, mediante la fisión nuclear (proceso en el que átomos pesados se dividen en otros más ligeros, con desprendimiento de energía). Como en una reacción de combustión, la suma de la masa de los productos es inferior a la de los reactivos, y la diferencia es lo que se ha transformado en energía. Otro ejemplo se da en los objetos astronómicos más importantes para la vida en el Cosmos: las estrellas. En el interior de las estrellas se dan reacciones nucleares de fusión (combinación de átomos ligeros para formar átomos más pesados) en las que se obtienen energías del orden de un millón de veces superior a la producida en los procesos de combustión. En nuestro sol, cada segundo se transforman 4 millones de toneladas de masa en energía. Aún así, la transformación de masa en energía en estos procesos sigue representando un porcentaje ridículo de la masa total. Como vemos, la transformación completa de masa en energía es extremadamente difícil. Sin embargo, hay un proceso en el que dicha transformación se produce de forma completa: es el proceso de aniquilación de una partícula con su antipartícula, como la aniquilación positrón-electrón. Esta sería una buena forma de obtener energía, pero desgraciadamente la energía necesaria para la obtención de una antipartícula supera con creces a la producida en la aniquilación.
Como último ejemplo, bastante espectacular, citaremos el Gran Colisionador de Hadrones (LHC) del CERN situado en la frontera franco-suiza, donde se hacen chocar protones que viajan casi a la velocidad de la luz, provocando un gran desprendimiento de energía que da lugar a la formación de otras partículas. No hay lugar sobre la Tierra donde se ponga más de manifiesto la comprobación experimental de la ecuación de Einstein. En el LHC parte de la energía tras la colisión se transforma en nuevas partículas y parte en energía cinética de esas mismas partículas.
Un último apunte sobre la ecuación. En la misma aparece “c”, la velocidad de la luz. Parece como si la luz jugara un papel fundamental en la propia estructura del espacio-tiempo y en la energía-masa. De hecho es así, pero no en el sentido que crees. Olvida por un momento la definición habitual de “c” como la velocidad de la luz y asimílala a la siguiente: la constante “c” es un límite cósmico de velocidad que no puede ser superado.
Supón
una partícula sin masa que viaja a una velocidad cuyo valor es este límite
cósmico, “c”. En principio podrías pensar que no puede llevar ninguna energía
asociada, pues si “m” es cero, de la ecuación E = mc2, obtendríamos
que E sería 0. Pero hay un detalle importante: si la masa es nula el valor de gamma se
hace infinito (puedes comprobarlo en la ecuación 12), por lo que el valor de la energía queda como la multiplicación de 0 por infinito (E = gammaxmc2
= infinitox0), obteniendo lo que en matemáticas se denomina una indeterminación. Esto quiere decir que el producto no tiene por qué dar como resultado cero, de hecho, para este caso particular (m = 0 y v = c) la energía no es cero. Lo que sucede es que toda la energía asociada a una partícula sin masa es empleada por la misma en forma de energía cinética, adquiriendo el máximo valor que puede darse en el Universo para la velocidad: “c”. Es una manera diferente de entender “c”. El valor de “c” no surge como consecuencia de la existencia de la luz, más bien la velocidad de la luz tiene un valor de “c” porque al estar formada por partículas sin masa, se ven obligadas a viajar con una velocidad correspondiente al valor del límite cósmico.
Hasta aquí con la Teoría de la Relatividad Especial de Einstein. A lo largo de tres entradas hemos ido construyendo la teoría hasta llegar a la ecuación más famosa de la historia. A partir de únicamente dos sencillos principios, el de que “el valor de la velocidad de la luz es una constante independientemente de la velocidad de la fuente emisora de luz” y el de que “las leyes físicas deben ser las mismas para todos los sistemas inerciales (sistemas con velocidad constante)” hemos deducido la expresión de la dilatación temporal, hemos pasado de una concepción de espacio y tiempo como magnitudes independientes a un nuevo escenario combinación de los mismos: el espacio-tiempo, y por último, a partir de este nuevo escenario hemos descubierto como la masa y la energía tampoco son magnitudes independientes, sino que forman parte de un mismo fenómeno.
Una vez más, se pone de manifiesto hasta que punto nuestra escala condiciona lo que percibimos como “realidad”. Pero ésta es mucho más rica y fascinante de lo que apreciamos…
Como nota final, tenemos que decir que toda esta teoría está desarrollada para sistemas inerciales, sin aceleración. Pero está claro que en el Universo entran en juego también las aceleraciones, sin ir más lejos tenemos la aceleración de la gravedad. A Einstein le costó varios años introducir la gravedad en su teoría, lo que le condujo a la Teoría de la Relatividad General...
Bibliografía:
¿Por qué E = mc2? Brian Cox y Jeff Forsaw. ISBN: 978-84-9992-296-6
